Дано: ABCD – трапеция. Доказать: AB = CD.

Для доказательства равенства сторон AB и CD в трапеции ABCD, необходимо использовать свойства равнобедренной трапеции, если она таковой является. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники ABM и CDK. Так как ABCD - трапеция, то AD || BC. 2. Угол BAK = углу ACD как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC (показано на рисунке красным). 3. По условию задачи, AB = CD. 4. В трапеции углы при основаниях равны. Значит, угол BAD = углу CDA. Отсюда следует, что угол BAM = углу CDK. 5. AK = CM, так как AK = AD-KD, CM = BC-MB, а AD = BC и KD = MB. 6. AM=CK, т.к. BM=DK, AB=CD, MBKA и DCKM - параллелограммы, чьи противоположные стороны равны. 7. Рассмотрим треугольник ABM и треугольник CDK. AB=CD, AM=CK, угол BAM=углу DCK. Значит, по первому признаку равенства треугольников, треугольники ABM и CDK равны. Из равенства треугольников следует, что BM=DK, а значит трапеция является равнобедренной и боковые стороны в ней равны. Следовательно, AB = CD.