7. Дано: ABCD – ромб. Доказать: MNPK – прямоугольник.

Чтобы доказать, что MNPK — прямоугольник, рассмотрим свойства ромба ABCD и построения точек M, N, P, K как середин сторон.

В ромбе все стороны равны, и противоположные стороны параллельны. Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Так как точки M, N, P, K — середины сторон ромба, то MNPK — параллелограмм (по теореме Вариньона: середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма).

Остается доказать, что один из углов параллелограмма MNPK прямой.

Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники, образованные сторонами ромба и его диагоналями. Они будут равны (например, треугольники AOB, BOC, COD, DOA). Углы при вершинах A, B, C, D ромба делятся диагоналями пополам, и так как диагонали ромба перпендикулярны, то в точке O образуются прямые углы.

В параллелограмме MNPK стороны параллельны диагоналям ромба ABCD. Тогда углы параллелограмма MNPK прямые, поскольку образованы пересечением прямых, параллельных перпендикулярным диагоналям ромба. Следовательно, MNPK — прямоугольник.