27* Дано: ΔABC - равносторонний, MB = 2AM, NC = 2BN, AK = 2KC. Доказать: ΔMNK – равносторонний.

Для доказательства того, что треугольник MNK равносторонний, нужно доказать, что все его стороны равны. 1. Поскольку ΔABC равносторонний, то AB = BC = CA и ∠A = ∠B = ∠C = 60°. 2. Выразим AM, BN и CK через стороны ΔABC. Пусть AB = BC = CA = a, тогда: * MB = 2AM ⇒ AM = AB/3 = a/3 * NC = 2BN ⇒ BN = BC/3 = a/3 * AK = 2KC ⇒ KC = AC/3 = a/3 3. Теперь рассмотрим отрезки MB, NC и AK: * MB = AB - AM = a - a/3 = 2a/3 * NC = BC - BN = a - a/3 = 2a/3 * AK = AC - KC = a - a/3 = 2a/3 4. Рассмотрим треугольники ΔAMK, ΔBMN и ΔCNK. У них: * AM = BN = CK = a/3 * AK = BM = CN = 2a/3 * ∠A = ∠B = ∠C = 60° Следовательно, ΔAMK = ΔBMN = ΔCNK по двум сторонам и углу между ними. 5. Из равенства треугольников следует, что MK = MN = NK. Это означает, что ΔMNK равносторонний. Что и требовалось доказать.