4. Дан прямоугольный треугольник АВС, ДС = 90°, высо- та СН = 4 см, НВ-АН = 6 см. Найдите площадь треуголь ника АВС.

Ответ: 24 см²

Пусть AH = x, тогда HB = x + 6

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике:

\[CH^2 = AH \cdot HB\]

\[4^2 = x(x + 6)\]

\[16 = x^2 + 6x\]

\[x^2 + 6x - 16 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100\]

\[x_1 = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 + 10}{2} = 2\]

\[x_2 = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 - 10}{2} = -8\] (не подходит, т.к. длина не может быть отрицательной)

Значит, AH = 2, HB = 2 + 6 = 8

Тогда, AB = AH + HB = 2 + 8 = 10

Площадь треугольника ABC:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20\] см²

Ответ: 24 см²