Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром 1 и основанием ABC. Точки K, L и M — центры вписанных окружностей боковых граней. Найдите: 1) стороны и углы треугольника KLM.

Каждая боковая грань правильного тетраэдра — равносторонний треугольник со стороной 1. Центр вписанной окружности такого треугольника совпадает с его центром тяжести. Поэтому K, L и M — центры трёх боковых граней.

Возьмём две боковые грани с общей стороной. Расстояние между их центрами равно одной трети высоты равностороннего треугольника: \(KL=\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{6}\). По симметрии так же равны остальные стороны: \(KL=LM=MK\). Следовательно, KLM — равносторонний треугольник.

Ответ: \(KL=LM=MK=\frac{\sqrt3}{6}\); все углы треугольника KLM равны \(60^\circ\).