Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1. Точки K, L и M — середины рёбер A₁B₁, CC₁ и BC. Найдите: 1) стороны и углы треугольника KLM; 2) угол между прямыми AM и DC₁; 3) проекцию вектора AC на направление вектора KL.

Выберем координаты куба: \(A=(0;0;0)\), \(B=(1;0;0)\), \(D=(0;1;0)\), \(A_1=(0;0;1)\). Тогда \(C=(1;1;0)\), \(B_1=(1;0;1)\), \(C_1=(1;1;1)\).

Середины рёбер:

\(K=\left(\frac12;0;1\right),\quad L=\left(1;1;\frac12\right),\quad M=\left(1;\frac12;0\right)\).

Вычислим квадраты длин сторон по координатам:

\(KL^2=\frac32,\quad LM^2=\frac12,\quad MK^2=\frac32\).

Значит, \(KL=KM=\frac{\sqrt6}{2}\), а \(LM=\frac{\sqrt2}{2}\). По теореме косинусов:

\(\cos\angle K=\frac56\), \(\cos\angle L=\frac{1}{2\sqrt3}\), \(\cos\angle M=\frac{1}{\sqrt3}\).

Для угла между прямыми возьмём направляющие векторы \(\overrightarrow{AM}=(1;\frac12;0)\) и \(\overrightarrow{DC_1}=(1;0;1)\). Их скалярное произведение равно 1, длины равны \(\frac{\sqrt5}{2}\) и \(\sqrt2\). Поэтому \(\cos\varphi=\frac{\sqrt{10}}{5}\).

Скалярная проекция \(\overrightarrow{AC}\) на направление \(\overrightarrow{KL}\) равна \(\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{KL}}{|\overrightarrow{KL}|}\). Здесь \(\overrightarrow{AC}=(1;1;0)\), \(\overrightarrow{KL}=(\frac12;1;-\frac12)\), так что проекция равна \(\frac{3}{\sqrt6/1}=\frac{\sqrt6}{2}\).

Ответ: \(KL=KM=\frac{\sqrt6}{2}\), \(LM=\frac{\sqrt2}{2}\); \(\angle K=\arccos\frac56\), \(\angle L=\arccos\frac{1}{2\sqrt3}\), \(\angle M=\arccos\frac{1}{\sqrt3}\); угол между прямыми \(AM\) и \(DC_1\) равен \(\arccos\frac{\sqrt{10}}5\); проекция \(\overrightarrow{AC}\) на направление \(\overrightarrow{KL}\) равна \(\frac{\sqrt6}{2}\).