5. Дан правильный девятиугольник A1A2...A9, точка О является его центром. Докажите, что треугольники A1OA4 и A1OA7 равны.

В правильном девятиугольнике все стороны и все углы равны. Центр девятиугольника – точка О, равноудалена от всех его вершин. Следовательно, OA1 = OA4 = OA7, так как это радиусы описанной окружности. Рассмотрим углы: Угол между соседними вершинами в центре равен $$\frac{360°}{9} = 40°$$. Угол ∠A1OA4 состоит из трех таких углов: ∠A1OA4 = 3 * 40° = 120°. Угол ∠A1OA7 состоит из шести таких углов: ∠A1OA7 = 6 * 40° = 240°. Но так как мы рассматриваем угол между радиусами, идущими из одной вершины, то этот угол равен 360° - 240° = 120°. Получаем, что ∠A1OA4 = ∠A1OA7 = 120°. Таким образом, треугольники A1OA4 и A1OA7 имеют две равные стороны (OA1, OA4 и OA1, OA7) и равный угол между ними (∠A1OA4 = ∠A1OA7). Следовательно, треугольники A1OA4 и A1OA7 равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).