85. Дан параллелограмм ABCD, у которого АВ=17 см, BD=18 см, АС = 20 см. Найдите площадь параллело- грамма.

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон:

\[AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)\]

Подставляем известные значения:

\[20^2 + 18^2 = 2(17^2 + AD^2)\] \[400 + 324 = 2(289 + AD^2)\] \[724 = 578 + 2AD^2\] \[2AD^2 = 724 - 578\] \[2AD^2 = 146\] \[AD^2 = 73\] \[AD = \sqrt{73}\]

Теперь найдем площадь треугольника ABD, используя формулу Герона:

\[p = \frac{AB + BD + AD}{2} = \frac{17 + 18 + \sqrt{73}}{2} = \frac{35 + \sqrt{73}}{2}\] \[S_{\triangle ABD} = \sqrt{p(p - AB)(p - BD)(p - AD)}\] \[S_{\triangle ABD} = \sqrt{\frac{35 + \sqrt{73}}{2} \cdot \frac{35 + \sqrt{73} - 34}{2} \cdot \frac{35 + \sqrt{73} - 36}{2} \cdot \frac{35 + \sqrt{73} - 2\sqrt{73}}{2}}\] \[S_{\triangle ABD} = \sqrt{\frac{35 + \sqrt{73}}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{73}}{2} \cdot \frac{-1 + \sqrt{73}}{2} \cdot \frac{35 - \sqrt{73}}{2}}\] \[S_{\triangle ABD} = \frac{1}{4} \sqrt{(35^2 - 73)(73 - 1)} = \frac{1}{4} \sqrt{(1225 - 73)(72)} = \frac{1}{4} \sqrt{1152 \cdot 72} = \frac{1}{4} \sqrt{82944} = \frac{1}{4} \cdot 288 = 72\]

Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABD:

\[S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABD} = 2 \cdot 72 = 144 \text{ см}^2\]

Ответ: Площадь параллелограмма равна 144 см²