А5. В треугольнике АВС ВС = 4√2 см, ∠A = 45°, ∠B = 105°. Найдите длину стороны АВ. а) 4 см; б) 4√2 см; в) 6 см; г) 3/6 см.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

\[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 45^\circ - 105^\circ = 30^\circ\]

Используем теорему синусов:

\[\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{AB}{\sin 30^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}\]

Выражаем AB:

\[AB = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}\]

Знаем, что \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) и \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому:

\[AB = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 4\]

Значит, длина стороны AB равна 4 см.

Ответ: а) 4 см