Дан квадратный трехчлен: а) $$3x^2 + x - 4$$; б) $$0,25x^2 - 10x + 1$$ 1) Вычислите коэффициенты; 2) Проверьте, является ли +1 корнем; 3) Разложите на множители.

a) Дан квадратный трехчлен $$3x^2 + x - 4$$. 1) Вычислите коэффициенты. Коэффициенты: $$a = 3$$, $$b = 1$$, $$c = -4$$ 2) Проверьте, является ли +1 корнем. Подставим $$x = 1$$ в трехчлен: $$3\cdot 1^2 + 1 - 4 = 3 + 1 - 4 = 0$$ Значит, $$x = 1$$ является корнем. 3) Разложите на множители. Так как один из корней $$x = 1$$, то второй корень найдем по теореме Виета: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-4}{3}$$. $$x_2 = \frac{-4}{3x_1} = \frac{-4}{3\cdot 1} = -\frac{4}{3}$$. Тогда разложение на множители имеет вид: $$a(x - x_1)(x - x_2) = 3(x - 1)(x + \frac{4}{3}) = (x - 1)(3x + 4)$$. б) Дан квадратный трехчлен $$0,25x^2 - 10x + 1$$. 1) Вычислите коэффициенты. Коэффициенты: $$a = 0,25$$, $$b = -10$$, $$c = 1$$ 2) Проверьте, является ли +1 корнем. Подставим $$x = 1$$ в трехчлен: $$0,25\cdot 1^2 - 10\cdot 1 + 1 = 0,25 - 10 + 1 = -8,75$$. Значит, $$x = 1$$ не является корнем. 3) Разложите на множители. Найдем корни квадратного трехчлена. Дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4\cdot 0,25 \cdot 1 = 100 - 1 = 99$$. Корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{99}}{2 \cdot 0,25} = \frac{10 + 3\sqrt{11}}{0,5} = 20 + 6\sqrt{11}$$. $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{99}}{2 \cdot 0,25} = \frac{10 - 3\sqrt{11}}{0,5} = 20 - 6\sqrt{11}$$. Разложение на множители: $$0,25(x - (20 + 6\sqrt{11}))(x - (20 - 6\sqrt{11}))$$. Ответ: а) Коэффициенты: $$a = 3$$, $$b = 1$$, $$c = -4$$. x = 1 является корнем. Разложение на множители: $$(x - 1)(3x + 4)$$. б) Коэффициенты: $$a = 0,25$$, $$b = -10$$, $$c = 1$$. x = 1 не является корнем. Разложение на множители: $$0,25(x - (20 + 6\sqrt{11}))(x - (20 - 6\sqrt{11}))$$