Дан куб АBCDABCD₁. Найдите угол между прямыми АС и DH, где Н - середина ребра СС1.

Примем сторону куба равной 2. Пусть A=(0,0,0), C=(2,2,0), C1=(2,2,2), D=(0,2,0).

Найдем координаты точки H: H = (C + C1)/2 = (2,2,1).

Найдем векторы AC и DH: AC = (2,2,0), DH = H - D = (2,0,1).

Найдем косинус угла между векторами: cos(φ) = (AC · DH) / (|AC| · |DH|).

AC · DH = (2)(2) + (2)(0) + (0)(1) = 4.

|AC| = √(2^2 + 2^2 + 0^2) = √8 = 2√2.

|DH| = √(2^2 + 0^2 + 1^2) = √5.

cos(φ) = 4 / (2√2 · √5) = 4 / (2√10) = 2/√10 = √10/5. Угол равен arccos(√10/5).