Дан четырехугольник ABCD. Сколько на плоскости существует таких точек М, что AM = CM, BM = DM?

Решение:

Условие \( AM = CM \) означает, что точка М равноудалена от вершин А и С. Геометрическим местом таких точек является серединный перпендикуляр к отрезку АС.

Условие \( BM = DM \) означает, что точка М равноудалена от вершин В и D. Геометрическим местом таких точек является серединный перпендикуляр к отрезку BD.

Таким образом, точка М должна лежать на пересечении двух серединных перпендикуляров: к диагонали АС и к диагонали BD.

В общем случае, две прямые (серединные перпендикуляры) пересекаются в одной точке. Исключением является случай, когда эти прямые параллельны, что возможно, если диагонали параллельны, что невозможно для четырехугольника.

Следовательно, существует ровно одна точка пересечения серединных перпендикуляров.

Эта точка является центром описанной окружности, если четырехугольник вписанный. Но даже если он не вписанный, точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям существует и единственна.

Ответ: 1