10. Число A даёт остаток 1 от деления на 4. Какой остаток от деления на 4 даёт число $$B = A^2 + (4A)^2$$?

Так как число A даёт остаток 1 от деления на 4, можно записать $$A = 4k + 1$$, где k - целое число. Тогда $$B = A^2 + (4A)^2 = A^2 + 16A^2 = 17A^2$$. Подставим $$A = 4k + 1$$: $$B = 17(4k + 1)^2 = 17(16k^2 + 8k + 1) = 272k^2 + 136k + 17$$ Теперь посмотрим на остаток от деления B на 4: $$B \mod 4 = (272k^2 + 136k + 17) \mod 4$$ Так как 272 и 136 делятся на 4, то $$272k^2 \mod 4 = 0$$ и $$136k \mod 4 = 0$$. Поэтому, $$B \mod 4 = 17 \mod 4 = 1$$. Ответ: 1