1. Через вершины А и С параллелограмма ABCD проведены параллельные прямые А₁А и С₁С в плоскости параллелограмма. Докажите параллельность плоскостей A₁AD и С₁СВ. 2. Параллельные прямые а и в пересекают одну из двух параллельных плоскостей в точках А₁ и В₁, а другую в точках А₂ и В₂ соответственно. Найдите ∠B₁B₂A₂, если ∠B₁A₁A=50°.

1. Для доказательства параллельности плоскостей A₁AD и C₁CB рассмотрим две пересекающиеся прямые в каждой из плоскостей. * В плоскости A₁AD возьмем прямые A₁A и AD. * В плоскости C₁CB возьмем прямые C₁C и CB. По условию, A₁A || C₁C (как параллельные прямые, проведенные через вершины параллелограмма). AD || CB (как противоположные стороны параллелограмма ABCD). Так как A₁A и AD лежат в плоскости A₁AD, а C₁C и CB лежат в плоскости C₁CB, и соответствующие прямые параллельны, то плоскости A₁AD и C₁CB параллельны. 2. Пусть плоскости, которые пересекают прямые a и b, называются α и β. Прямые a и b параллельны, значит, угол между прямой a и плоскостью α равен углу между прямой b и плоскостью α. Аналогично, угол между прямой a и плоскостью β равен углу между прямой b и плоскостью β. По условию, ∠B₁A₁A = 50°. Поскольку прямые a и b параллельны, а плоскости α и β параллельны, угол между прямой b и плоскостью β будет равен углу между прямой a и плоскостью α. Следовательно, ∠B₂B₁B = 50° (как соответственный угол при параллельных прямых). Рассмотрим четырехугольник A₁A₂B₂B₁. Так как A₁A₂ || B₁B₂ и A₁B₁ || A₂B₂, то A₁A₂B₂B₁ является параллелограммом. Значит, ∠B₁A₁A + ∠A₁B₁B₂ = 180°. Отсюда ∠A₁B₁B₂ = 180° - 50° = 130°. Поскольку ∠B₂B₁B + ∠B₁B₂A₂ = 180° (как внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей), то ∠B₁B₂A₂ = 180° - ∠B₂B₁B = 180° - 50° = 130°.