Через точку пересечения медиан треугольника ABC проведен отрезок DE, параллельный стороне AC. Точки D и E лежат на сторонах AB и BC соответственно. Найдите длину DE, если AC = 15.

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Поскольку отрезок DE параллелен стороне AC и проходит через точку M, то отрезок DE является средней линией треугольника ABC.

Известно, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Это значит, что AM : MD = 2 : 1. Следовательно, MD/AD = 1 / (2+1) = 1/3.

Поскольку DE параллельна AC, треугольники BDE и BAC подобны по двум углам (угол B общий, углы BDE и BAC соответственные при параллельных DE и AC и секущей AB). Из подобия треугольников следует, что DE / AC = BD / BA = BE / BC.

Так как AM : MD = 2:1, а DE проходит через точку пересечения медиан, то отношение BD / BA = 2/3, следовательно, DE / AC = 2/3.

Из DE / AC = 2/3 выразим DE: DE = (2/3) × AC = (2/3) × 15 = 10.

Ответ: DE = 10.