Решение

Из условия:

$$ \oint_{\gamma} \frac{dz}{z^5 - 1} = 2\pi i \cdot #Res $$

Выразим #Res:

$$ #Res = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma} \frac{dz}{z^5 - 1} $$

Найдем полюса функции $$f(z) = \frac{1}{z^5 - 1}$$. Для этого решим уравнение:

$$ z^5 - 1 = 0 $$ $$ z^5 = 1 $$

Представим 1 в комплексной форме:

$$ z^5 = e^{2\pi i k}, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Тогда корни уравнения:

$$ z_k = e^{\frac{2\pi i k}{5}}, \quad k = 0, 1, 2, 3, 4 $$

Все полюса простые, так как производная знаменателя в этих точках не равна нулю:

$$ (z^5 - 1)' = 5z^4 $$ $$ 5z_k^4 = 5(e^{\frac{2\pi i k}{5}})^4 = 5e^{\frac{8\pi i k}{5}}
eq 0 $$

Вычислим вычет в полюсе $$z_0 = 1$$:

$$ Res(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z) = \lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{1}{z^5 - 1} $$

Воспользуемся правилом Лопиталя:

$$ Res(f, z_0) = \lim_{z \to 1} \frac{(z - 1)'}{(z^5 - 1)'} = \lim_{z \to 1} \frac{1}{5z^4} = \frac{1}{5} $$

Так как контур γ охватывает ровно один полюс подынтегральной функции, то:

$$ \oint_{\gamma} \frac{dz}{z^5 - 1} = 2\pi i \cdot Res(f, z_0) = 2\pi i \cdot \frac{1}{5} $$

Подставим полученные значения:

$$ #Res = \frac{1}{2\pi i} \cdot 2\pi i \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} $$

Ответ:

#Res = 1/5