Часть 3 1. Решите уравнение 49ˣ −9·7ˣ +7 = −13x · \( \frac{x^2-6x+12}{(x-2)³+8} \).

Решение:

Заметим, что \( 49^x = (7^x)^2 \). Сделаем замену \( y = 7^x \).

Уравнение примет вид: \( y^2 - 9y + 7 = -13x \cdot \frac{x^2-6x+12}{(x-2)^3+8} \).

Рассмотрим знаменатель: \( (x-2)^3+8 = (x-2)^3 + 2^3 \). Это сумма кубов, разложим по формуле \( a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \).

\( (x-2)^3+2^3 = (x-2+2)((x-2)^2 - 2(x-2) + 4) = x(x^2-4x+4 - 2x+4 + 4) = x(x^2-6x+12) \).

Подставим это обратно в уравнение:

\( y^2 - 9y + 7 = -13x \cdot \frac{x^2-6x+12}{x(x^2-6x+12)} \).

Если \( x \ne 0 \) и \( x^2-6x+12 \ne 0 \) (дискриминант \( (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36-48 = -12 < 0 \), значит, \( x^2-6x+12 \) всегда положительно), то:

\( y^2 - 9y + 7 = -13 \).

\( y^2 - 9y + 20 = 0 \).

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \):

Дискриминант \( D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1 \).

\( y_1 = \frac{9+1}{2} = 5 \), \( y_2 = \frac{9-1}{2} = 4 \).

Возвращаемся к замене \( y = 7^x \).

\( 7^x = 5 \) \( \Rightarrow x = \log_7(5) \).

\( 7^x = 4 \) \( \Rightarrow x = \log_7(4) \).

Проверим условие \( x \ne 0 \). \( \log_7(5) \ne 0 \) и \( \log_7(4) \ne 0 \).

Ответ: \( x = \log_7(5) \), \( x = \log_7(4) \).