2. Решите неравенство (6^{x+1} -12) log₃ (4x-1)<0.

Question

2. Решите неравенство (6^{x+1} -12) log₃ (4x-1)<0.

$Фото задания: 2. Решите неравенство (6^{x+1} -12) log₃ (4x-1)<0.$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Неравенство $ (6^{x+1} - 12) \log_3(4x-1) < 0 $ будет выполняться, когда один из множителей положителен, а другой отрицателен.

ОДЗ: $ 4x - 1 > 0 $ $ \Rightarrow $ $ x > \frac{1}{4} $.

Случай 1:

$ 6^{x+1} - 12 > 0 $ и $ \log_3(4x-1) < 0 $.

Из $ 6^{x+1} - 12 > 0 $: $ 6^{x+1} > 12 $ $ \Rightarrow x+1 > \log_6(12) $ $ \Rightarrow x > \log_6(12) - 1 $. $ \log_6(12) = \log_6(6 \cdot 2) = 1 + \log_6(2) $. Так что $ x > 1 + \log_6(2) - 1 = \log_6(2) $.

Из $ \log_3(4x-1) < 0 $: $ 4x-1 < 3^0 $ $ \Rightarrow 4x-1 < 1 $ $ \Rightarrow 4x < 2 $ $ \Rightarrow x < \frac{1}{2} $.

Получаем: $ \log_6(2) < x < \frac{1}{2} $. $ \log_6(2) \approx 0.386 $.

Случай 2:

$ 6^{x+1} - 12 < 0 $ и $ \log_3(4x-1) > 0 $.

Из $ 6^{x+1} - 12 < 0 $: $ 6^{x+1} < 12 $ $ \Rightarrow x+1 < \log_6(12) $ $ \Rightarrow x < \log_6(12) - 1 = \log_6(2) $.

Из $ \log_3(4x-1) > 0 $: $ 4x-1 > 3^0 $ $ \Rightarrow 4x-1 > 1 $ $ \Rightarrow 4x > 2 $ $ \Rightarrow x > \frac{1}{2} $.

Получаем: $ \frac{1}{2} < x < \log_6(2) $. Это условие невыполнимо, так как $ \frac{1}{2} > \log_6(2) $.

Объединяем результаты: $ \log_6(2) < x < \frac{1}{2} $.

Ответ: $ (\log_6(2); \frac{1}{2}) $.