Часть 3. В заданиях 7, 8 приведите полное решение (при необходимости пользуйтесь черновиком). 7. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответ- ственно точки D и Е такие, что ∠ACD = ∠CAE. Докажите, что AD = CE. Дано: ДАВС-равнобед.; AB=BC.; ∠ACD = ∠CAE. Док-во: AD=CE

Доказательство:

1. Дано: \( △ ABC \) — равнобедренный, \( AB = BC \), \( ∠ ACD = ∠ CAE \).
2. Доказать: \( AD = CE \).
3. Поскольку \( △ ABC \) — равнобедренный и \( AB = BC \), то углы при основании равны: \( ∠ BAC = ∠ BCA \).
4. Пусть \( ∠ ACD = ∠ CAE = α \).
5. Рассмотрим углы \( ∠ BAC \) и \( ∠ BCA \).
6. \( ∠ BAC = ∠ BAE + ∠ EAC \).
7. \( ∠ BCA = ∠ BCD + ∠ DCA \).
8. Заменим \( ∠ EAC \) и \( ∠ DCA \) на \( α \):
9. \( ∠ BAC = ∠ BAE + α \).
10. \( ∠ BCA = ∠ BCD + α \).
11. Так как \( ∠ BAC = ∠ BCA \), то \( ∠ BAE + α = ∠ BCD + α \).
12. Отсюда следует, что \( ∠ BAE = ∠ BCD \).
13. Рассмотрим треугольники \( △ ADE \) и \( △ CEB \). (Это не тот путь. Рассмотрим другие треугольники.)
14. Рассмотрим треугольники \( △ ADC \) и \( △ CE A \).
15. У нас есть:
16. \( AC \) — общая сторона.
17. \( ∠ ACD = ∠ CAE \) (по условию).
18. \( ∠ CAD = ∠ ACE \) (так как \( ∠ BAC = ∠ BCA \) и \( ∠ BAC = ∠ BAD + ∠ DAC \), \( ∠ BCA = ∠ BCE + ∠ ECA \).
19. Если \( ∠ BAC = ∠ BCA \), то \( ∠ BAD + ∠ DAC = ∠ BCE + ∠ ECA \).
20. Мы знаем \( ∠ ACD = α \) и \( ∠ CAE = α \).
21. \( ∠ BAC = ∠ BAD + α \).
22. \( ∠ BCA = ∠ BCE + α \).
23. Так как \( ∠ BAC = ∠ BCA \), то \( ∠ BAD = ∠ BCE \).
24. Теперь рассмотрим треугольники \( △ ADC \) и \( △ CEA \).
25. У нас есть:
26. 1. \( AC \) — общая сторона.
27. 2. \( ∠ ACD = ∠ CAE \) (по условию).
28. 3. \( ∠ CAD \) и \( ∠ ACE \).
29. \( ∠ BAC = ∠ BCA \).
30. \( ∠ CAD = ∠ BAC - ∠ BAD \).
31. \( ∠ ACE = ∠ BCA - ∠ BCE \).
32. Так как \( ∠ BAC = ∠ BCA \) и \( ∠ BAD = ∠ BCE \), то \( ∠ CAD = ∠ ACE \).
33. Таким образом, в треугольниках \( △ ADC \) и \( △ CEA \) есть:
34. - Общая сторона \( AC \).
35. - Угол \( ∠ ACD = ∠ CAE \) (по условию).
36. - Угол \( ∠ CAD = ∠ ACE \) (доказано выше).
37. По признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (угол-сторона-угол), \( △ ADC = △ CEA \).
38. Следовательно, соответствующие стороны равны: \( AD = CE \).

Что и требовалось доказать.