C1. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиусом 7,5 см. Найдите стороны трапеции, если боковая сторона трапеции равна 17 см.

Решение:

Пусть данная равнобедренная трапеция ABCD, где AB = CD = 17 см (боковые стороны). В трапецию вписана окружность радиуса \( r = 7.5 \) см. Высота трапеции \( h \) равна диаметру вписанной окружности, то есть \( h = 2r = 2 × 7.5 = 15 \) см.

Проведем высоту из вершины B к основанию AD, обозначим точку пересечения H. Треугольник ABH — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем AH: \( AB^2 = BH^2 + AH^2 \). \( 17^2 = 15^2 + AH^2 \). \( 289 = 225 + AH^2 \). \( AH^2 = 289 - 225 = 64 \). \( AH = \sqrt{64} = 8 \) см.

В равнобедренной трапеции основание AD = AH + HD. Так как трапеция равнобедренная, то AH = HD (если опустить высоту из C на AD, точка будет K, и HD = AK). Однако, правильнее будет сказать, что \( AD = BC + 2 × AH \) (если AD - большее основание) или \( BC = AD + 2 × CH \) (если BC - большее основание). Из рисунка следует, что AD - большее основание.

Мы знаем, что для трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон. То есть, \( AD + BC = AB + CD = 17 + 17 = 34 \) см.

Также, \( AD = BC + 2 × AH \) (где AH — отрезок большего основания, отсекаемый высотой). \( AD = BC + 2 × 8 \). \( AD = BC + 16 \).

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( AD + BC = 34 \)
2. \( AD = BC + 16 \)

Подставим второе уравнение в первое:

\( (BC + 16) + BC = 34 \)

\( 2BC + 16 = 34 \)

\( 2BC = 34 - 16 = 18 \)

\( BC = 9 \) см.

Теперь найдем AD: \( AD = BC + 16 = 9 + 16 = 25 \) см.

Таким образом, основания трапеции равны 9 см и 25 см, а боковые стороны равны 17 см.

Ответ: Основания трапеции равны 9 см и 25 см, боковые стороны равны 17 см.