16. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Пусть $$a$$ - боковая сторона, $$b$$ - основание треугольника, $$R$$ - радиус описанной окружности, $$\alpha$$ - угол при вершине. По теореме синусов, $$\frac{b}{\sin{\alpha}} = 2R$$, где $$2R$$ - диаметр описанной окружности. Угол при вершине равен 120°, значит, противолежащий ему основание можно найти по теореме косинусов: $$b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\cos{\alpha} = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4^2\cos{120^\circ} = 16 + 16 - 32 \cdot (-\frac{1}{2}) = 32 + 16 = 48$$ $$b = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$ Теперь найдем диаметр: $$2R = \frac{b}{\sin{\alpha}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin{120^\circ}} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$$ Ответ: **8**