16. 4 B К окружности с центром в точке О проведены касатель ная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ = 14 см, 40 - 50 см.

• Пусть r - радиус окружности. Тогда AO = 50 см (дано), а AB = 14 см (дано).
• По теореме о касательной и секущей, квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то есть:

\[AB^2 = AO \cdot (AO - 2r)\]

• Подставим известные значения:

\[14^2 = 50 \cdot (50 - 2r)\] \[196 = 2500 - 100r\] \[100r = 2500 - 196\] \[100r = 2304\] \[r = \frac{2304}{100}\] \[r = 23.04\]

Так как АО = 50, то OA = 50, и радиус окружности можно найти как половину OA, то есть:

\[R = \frac{OA}{2} = \frac{50}{2} = 25\]

Треугольник ABO - прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

\[AO^2 = AB^2 + BO^2\] \[BO^2 = AO^2 - AB^2 = 50^2 - 14^2 = 2500 - 196 = 2304\] \[BO = \sqrt{2304} = 48\]