Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию треугольника. Найдите его углы.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, и биссектриса BD угла B пересекает сторону AC в точке D. Из условия задачи следует, что BD = AC. 1. Обозначим углы: * Пусть \(\angle BAC = \angle BCA = x\) (углы при основании равнобедренного треугольника равны). * Тогда \(\angle ABC = 180° - 2x\) (сумма углов треугольника равна 180°). * Так как BD - биссектриса, то \(\angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2}(180° - 2x) = 90° - x\). 2. Рассмотрим треугольник ABD: * \(\angle BDA = 180° - \angle BAC - \angle ABD = 180° - x - (90° - x) = 90°\). То есть треугольник ABD - прямоугольный. По условию, BD = AC. Пусть AB = BC = a, AC = BD = b. 3. Применим теорему синусов к треугольнику ABC: \(\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{AB}{\sin(\angle BCA)}\) \(\frac{b}{\sin(180° - 2x)} = \frac{a}{\sin(x)}\) \(\frac{b}{\sin(2x)} = \frac{a}{\sin(x)}\) \(b = \frac{a \sin(2x)}{\sin(x)} = \frac{a \cdot 2 \sin(x) \cos(x)}{\sin(x)} = 2a \cos(x)\) 4. Применим теорему синусов к треугольнику ABD: \(\frac{BD}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AB}{\sin(\angle BDA)}\) \(\frac{b}{\sin(x)} = \frac{a}{\sin(90°)}\) \(\frac{b}{\sin(x)} = a\) \(b = a \sin(x)\) 5. Приравняем выражения для b: \(2a \cos(x) = a \sin(x)\) \(2 \cos(x) = \sin(x)\) \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 2\) \(x = \arctan(2) \approx 63.43°\) 6. Найдем углы треугольника ABC: * \(\angle BAC = \angle BCA = x \approx 63.43°\) * \(\angle ABC = 180° - 2x \approx 180° - 2 \cdot 63.43° \approx 53.14°\) Ответ: Углы треугольника приблизительно равны 63.43°, 63.43° и 53.14°.