63. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки длиной 6 см и 10 см. Большая из двух других сторон равна 25 см. Найдите площадь треугольника. 64. Один из углов ромба в 2 раза больше другого, а его сторона равна 6 см. Найдите площадь ромба.

1. 63. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки длиной 6 см и 10 см. Большая из двух других сторон равна 25 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть треугольник (ABC), в котором биссектриса (BD) делит сторону (AC) на отрезки (AD = 6) см и (DC = 10) см. Из условия известно, что большая из двух других сторон равна 25 см. Пусть (AB = x), тогда (BC = 25). По свойству биссектрисы треугольника, (rac{AB}{AD} = rac{BC}{CD}), отсюда (rac{x}{6} = rac{25}{10}). Решим это уравнение для (x):

$$x = rac{6 cdot 25}{10} = rac{150}{10} = 15$$

Итак, (AB = 15) см.

Теперь у нас известны три стороны треугольника: (AB = 15) см, (BC = 25) см и (AC = AD + DC = 6 + 10 = 16) см. Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона:

$$S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$

где (p) - полупериметр, (a, b, c) - стороны треугольника.

Найдем полупериметр:

$$p = rac{AB + BC + AC}{2} = rac{15 + 25 + 16}{2} = rac{56}{2} = 28$$

Теперь найдем площадь:

$$S = sqrt{28(28-15)(28-25)(28-16)} = sqrt{28 cdot 13 cdot 3 cdot 12} = sqrt{28 cdot 13 cdot 36} = sqrt{10000 + 8 cdot 13 cdot 9} = sqrt{13104}$$

$$S = sqrt{13104} = 12sqrt{91} approx 114.47$$

Ответ: Площадь треугольника равна (12sqrt{91}) см(^2) или приблизительно 114.47 см(^2).

2. 64. Один из углов ромба в 2 раза больше другого, а его сторона равна 6 см. Найдите площадь ромба.

Пусть один из углов ромба равен (x), тогда другой угол равен (2x). Так как в ромбе углы, прилежащие к одной стороне, в сумме составляют 180 градусов, то:

(x + 2x = 180)

(3x = 180)

(x = 60)

Таким образом, один угол равен (60^{circ}), а другой (120^{circ}). Площадь ромба можно найти по формуле:

$$S = a^2 cdot sin(alpha)$$,

где (a) - сторона ромба, (alpha) - один из углов ромба.

В нашем случае, (a = 6) см, (alpha = 60^{circ}). Следовательно,

$$S = 6^2 cdot sin(60^{circ}) = 36 cdot rac{sqrt{3}}{2} = 18sqrt{3}$$

Ответ: Площадь ромба равна (18sqrt{3}) см(^2).