Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через два часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть $$v$$ — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч), $$u$$ — скорость течения реки (км/ч), которая равна 3 км/ч.

Расстояние между пристанями А и В равно 108 км.

Плот отправился из А в В. Через 2 часа вслед за плотом отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км.

Пусть $$t$$ — время движения плота до момента возвращения лодки в пункт А.

Тогда $$3t = 51$$, откуда $$t = \frac{51}{3} = 17$$ часов.

Лодка вышла через 2 часа после плота, поэтому время движения лодки равно $$17 - 2 = 15$$ часов.

Пусть $$t_1$$ — время движения лодки из А в В, $$t_2$$ — время движения лодки из В в А.

Тогда $$t_1 + t_2 = 15$$

Скорость лодки по течению равна $$v + u$$, скорость лодки против течения равна $$v - u$$.

Расстояние от А до В равно 108 км.

Время движения лодки из А в В: $$t_1 = \frac{108}{v + u}$$

Время движения лодки из В в А: $$t_2 = \frac{108}{v - u}$$

$$\frac{108}{v + u} + \frac{108}{v - u} = 15$$

$$\frac{108(v - u) + 108(v + u)}{(v + u)(v - u)} = 15$$

$$\frac{108v - 108u + 108v + 108u}{v^2 - u^2} = 15$$

$$\frac{216v}{v^2 - u^2} = 15$$

$$216v = 15(v^2 - u^2)$$

$$216v = 15(v^2 - 3^2)$$

$$216v = 15(v^2 - 9)$$

$$216v = 15v^2 - 135$$

$$15v^2 - 216v - 135 = 0$$

Разделим уравнение на 3:

$$5v^2 - 72v - 45 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084$$

$$\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$$

$$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15$$

$$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 - 78}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 15$$ км/ч.

Ответ: 15 км/ч