Биссектриса острого угла параллелограмма делит сторону на отрезки длиной 7 см и 10 см, начиная от вершины тупого угла. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

Пусть биссектриса острого угла параллелограмма пересекает сторону, деля её на отрезки 7 см и 10 см. Так как биссектриса делит угол пополам, а накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, то треугольник, образованный стороной, биссектрисой и прилежащей стороной, является равнобедренным. Это означает, что две стороны этого треугольника равны.

Если отрезок длиной 7 см прилегает к вершине острого угла, то прилежащая сторона параллелограмма равна 7 см. Тогда второй отрезок, 10 см, является частью другой стороны. Таким образом, стороны параллелограмма равны 7 см и (7+10) = 17 см.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле \( P = 2(a+b) \), где \( a \) и \( b \) — длины сторон.

\( P = 2(7 + 17) = 2(24) = 48 \) см.

Если отрезок длиной 10 см прилегает к вершине острого угла, то прилежащая сторона параллелограмма равна 10 см. Тогда второй отрезок, 7 см, является частью другой стороны. Таким образом, стороны параллелограмма равны 10 см и (10+7) = 17 см.

\( P = 2(10 + 17) = 2(27) = 54 \) см.

По условию, биссектриса делит сторону, начиная от вершины тупого угла. Пусть биссектриса угла A (острого) делит сторону BC на отрезки BK = 7 см и KC = 10 см. Тогда сторона BC = 7 + 10 = 17 см. В треугольнике ABK, угол ABK = угол D (противоположный углу A), угол BAK = угол KAD (по определению биссектрисы), угол ABK = угол BAK (накрест лежащие углы). Значит, треугольник ABK равнобедренный, AB = BK = 7 см. Стороны параллелограмма равны 7 см и 17 см. Периметр = \( 2(7 + 17) = 48 \) см.

Если биссектриса угла A делит сторону BC на отрезки BK = 10 см и KC = 7 см. Тогда сторона BC = 10 + 7 = 17 см. В треугольнике ABK, AB = BK = 10 см. Стороны параллелограмма равны 10 см и 17 см. Периметр = \( 2(10 + 17) = 54 \) см.

Условие "начиная от вершины тупого угла" относится к стороне, которая делится. То есть, биссектриса выходит из острого угла и делит противоположную сторону. Значит, стороны параллелограмма равны 7 и 17, или 10 и 17.

Ответ: а) 48 см; б) 54 см.