Билет № 8 1. Определение средней линии треугольника. Свойства средней линии треугольника. Площадь треугольника. Формула Герона. 2. Касательные к окружности с центром O в точках А и В пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Средняя линия треугольника:

Определение: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии:

• Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне).
• Средняя линия треугольника равна половине основания (третьей стороны).

Площадь треугольника:

• Через основание и высоту: \( S = \frac{1}{2} a \cdot h_a \)
• По формуле Герона (через три стороны \(a, b, c\) и полупериметр \(p = \frac{a+b+c}{2}\)): \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

2. Угол АВО:

Пусть точки касания касательных, проведенных из некоторой точки, будут A и B. Центр окружности — O. Угол между касательными равен 72°.

Рассмотрим четырёхугольник, образованный точками касания A, B и центром O. Касательные перпендикулярны радиусам в точке касания, поэтому \( \angle OAB = \angle OBA = 90° \).

Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°. Угол между касательными \( \angle AVB = 72° \) (где V — точка пересечения касательных).

В четырёхугольнике OAVB (где V - точка пересечения касательных), \( \angle AOV + \angle AVB + \angle VBA + \angle OAB = 360° \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle OAB \). OA и OB — радиусы, поэтому \( \triangle OAB \) — равнобедренный. Углы при основании равны.

Угол между касательными, проведенными из точки, равен \( 72° \). Это означает, что угол между векторами касательных из этой точки равен \( 72° \).

Если \( \angle AVB = 72° \), то \( \angle AOB = 180° - 72° = 108° \).

В равнобедренном \( \triangle OAB \) углы при основании \( OA \) и \( OB \) равны:

\( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - \angle AOB}{2} = \frac{180° - 108°}{2} = \frac{72°}{2} = 36° \).

Ответ: 36°.