Билет № 8 1. Определение средней линии треугольника. Свойства средней линии треугольника. Площадь треугольника. Формула Герона. 2. Касательные к окружности с центром О в точках А и В пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах. A 0 B

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

1. Определение средней линии треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойства средней линии треугольника:

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон.
Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна.

Площадь треугольника:

S = (1/2) * a * h, где 'a' — сторона треугольника, 'h' — высота, проведённая к этой стороне.
S = (1/2) * a * b * sin(γ), где 'a' и 'b' — две стороны треугольника, 'γ' — угол между ними.

Формула Герона: используется для нахождения площади треугольника по трём его сторонам.

S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)], где 'a', 'b', 'c' — длины сторон треугольника, а 'p' — полупериметр (p = (a + b + c) / 2).

2. Касательные к окружности с центром О в точках А и В пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Дано:

Найти: ∠ABO

Решение:

Проведём радиусы OA и OB к точкам касания. Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠OAT = 90° и ∠OBT = 90°, где T — точка пересечения касательных.
Рассмотрим четырёхугольник OATB. Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°.
∠AOB + ∠OAT + ∠ATB + ∠OBT = 360°
∠AOB + 90° + 72° + 90° = 360°
∠AOB + 252° = 360°
∠AOB = 360° - 252° = 108°.
Теперь рассмотрим треугольник ABO. OA и OB — радиусы окружности, поэтому OA = OB. Треугольник ABO — равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поэтому ∠OAB = ∠OBA.
Сумма углов в треугольнике ABO равна 180°.
∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°
108° + ∠OBA + ∠OBA = 180°
108° + 2 * ∠OBA = 180°
2 * ∠OBA = 180° - 108°
2 * ∠OBA = 72°
∠OBA = 72° / 2 = 36°.

Ответ: 36