Билет 7. 1. Дайте определение равнобедренного треугольника. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника. 2. Докажите свойства смежных и вертикальных углов. 3. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 38 см, а угол В равен 60°. Найти катет ВС. 4. На рисунке ACIIDB, CO=OD. Докажите равенство треугольников СОА и DOB.

Билет 7.

1. Определение и свойства равнобедренного треугольника:

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

Свойства равнобедренного треугольника:

• Углы при основании равны.
• Биссектриса, высота и медиана, проведённые к основанию, совпадают.

2. Доказательство свойств смежных и вертикальных углов:

Смежные углы:

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство: Пусть ∕1 и ∕2 — смежные углы. Их стороны, кроме одной, образуют развёрнутый угол, равный 180°. Следовательно, \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \).

Вертикальные углы:

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.

Доказательство: Пусть ∕1 и ∕3 — вертикальные углы. Пусть ∕2 — угол, смежный с ∕1 и ∕3. Тогда \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \) и \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \). Следовательно, \( \angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3 \), откуда \( \angle 1 = \angle 3 \).

3. Нахождение катета ВС в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике ABC: гипотенуза AB = 38 см, ∕B = 60°, ∕C = 90°.

Катет, прилежащий к углу B, равен:

\[ BC = AB \cdot \cos(\angle B) \]

\[ BC = 38 \cdot \cos(60^{\circ}) \]

Так как \( \cos(60^{\circ}) = 0.5 \), то:

\[ BC = 38 \cdot 0.5 \]

\[ BC = 19 \text{ см} \]

Ответ: 19 см.

4. Доказательство равенства треугольников СОА и DOB:

Дано: AC || DB, CO = OD.

Доказать: ∆COA = ∆DOB.

Доказательство:

1. Рассмотрим ∆COA и ∆DOB.
2. По условию CO = OD.
3. Так как AC || DB и CO — секущая, то ∕ACO = ∕BDO (накрест лежащие углы).
4. Так как AC || DB и AO — секущая, то ∕CAO = ∕DBO (накрест лежащие углы).
5. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), ∆COA = ∆DOB.

Что и требовалось доказать.