Билет № 3 1. Дайте определение биссектрисы, медианы, высоты треугольника. 2. Докажите один из признаков равенства прямоугольных треугольников. 3. Прямые т и и параллельны. Найдите 23, если 21 = 22°, 42 = 72°. 4. В равностороннем треугольнике АВС биссектрисы СП и АМ пересекаются в точке Р. Найдите ∠MPN.

Билет № 3

1. Биссектриса треугольника — это отрезок, который делит угол треугольника пополам и соединяет вершину с противоположной стороной.
2. Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
3. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или её продолжение).
4. Признак равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу): Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

5. Решение:

   Прямые \( m \) и \( n \) параллельны.

   \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых \( m \) и \( n \) секущей. Следовательно, \( \angle 1 = \angle 2 \).

   Однако, по условию \( \angle 1 = 22^{\circ} \) и \( \angle 2 = 72^{\circ} \), что противоречит свойству накрест лежащих углов.

   Рассмотрим другой вариант. Пусть \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — внутренние односторонние углы. Тогда их сумма равна \( 180^{\circ} \). \( 22^{\circ} + 72^{\circ} = 94^{\circ} \) \(\neq 180^{\circ} \).

   Предположим, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это углы, образованные секущей, пересекающей параллельные прямые \( m \) и \( n \).

   \( \angle 3 \) — внешний накрест лежащий угол по отношению к некоторому углу, смежному с \( \angle 2 \).

   Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — односторонние углы, то \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \).

   Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие углы, то \( \angle 1 = \angle 2 \).

   Из рисунка видно, что \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — односторонние углы. Значит, \( \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ} \).

   \( 22^{\circ} + \angle 3 = 180^{\circ} \)

   \( \angle 3 = 180^{\circ} - 22^{\circ} = 158^{\circ} \).

   Из рисунка видно, что \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \) — односторонние углы. Значит, \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \).

   \( 72^{\circ} + \angle 3 = 180^{\circ} \)

   \( \angle 3 = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \).

   Из рисунка видно, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — накрест лежащие углы. Если бы они были равны, то прямые были бы параллельны. Но \( \angle 1 \neq \angle 2 \).

   Если \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — соответственные углы, то \( \angle 1 = \angle 2 \).

   По условию, прямые \( m \) и \( n \) параллельны. \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — внутренние накрест лежащие углы. Следовательно, \( \angle 1 = \angle 3 \).

   \( \angle 3 = 22^{\circ} \).

   Ответ: \( \angle 3 = 22^{\circ} \).

6. Решение:

   Треугольник ABC — равносторонний. Все его углы равны \( 60^{\circ} \).

   СП и АМ — биссектрисы. В равностороннем треугольнике биссектрисы являются также медианами и высотами.

   Точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности, центр тяжести, ортоцентр) — точка Р.

   Биссектриса делит угол пополам. Угол A = \( 60^{\circ} \), угол C = \( 60^{\circ} \).

   \( \angle CAM = \angle BAM = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

   \( \angle ACS = \angle BCS = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

   Рассмотрим треугольник MPC. Угол \( \angle MCP = \angle BCS = 30^{\circ} \).

   \( \angle CMP \) — это часть угла \( \angle AMC \). АМ — медиана, высота и биссектриса. \( \angle AMC = 90^{\circ} \).

   В треугольнике APC: \( \angle PAC = 30^{\circ} \), \( \angle PCA = 30^{\circ} \). Следовательно, треугольник APC равнобедренный, \( AP = PC \). \( \angle APC = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

   Углы \( \angle APM \) и \( \angle MPC \) являются частями \( \angle APC \).

   Рассмотрим треугольник P MC. \( \angle PCM = 30^{\circ} \). \( \angle PMC = ? \).

   Так как AM — медиана, M — середина BC. \( BM = MC = \frac{1}{2} BC \).

   В равностороннем треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке, которая делит биссектрису в отношении 2:1, считая от вершины.

   \( AP : PM = 2 : 1 \).

   В треугольнике P MC: \( \angle PCM = 30^{\circ} \).

   Угол \( \angle PMC \) — это угол между медианой AM и стороной BC. Так как AM — высота, \( \angle AMC = 90^{\circ} \). Следовательно, \( \angle PMC = 90^{\circ} \).

   В треугольнике PMC: \( \angle MPC = 180^{\circ} - \angle PCM - \angle PMC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ} \).

   Угол \( \angle MPN \) — это смежный угол с \( \angle MPC \), если N — точка на AC.

   По условию, биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Значит, P — центр треугольника.

   Рассмотрим треугольник APM. \( \angle PAM = 30^{\circ} \).

   \( \angle AMP \) — угол между медианой AM и биссектрисой AP. \( \angle AMC = 90^{\circ} \).

   Угол \( \angle MPN \) — это угол между медианой AM и биссектрисой CN.

   Рассмотрим треугольник AP C. \( \angle PAC = 30^{\circ} \), \( \angle PCA = 30^{\circ} \). \( \angle APC = 120^{\circ} \).

   Углы \( \angle APC \) и \( \angle MPN \) являются вертикальными.

   Ответ: \( \angle MPN = 120^{\circ} \).