Билет № 1 1. Дайте определение вертикальных углов и сформулируйте их свойство. 2. Докажите один из признаков равенства треугольников. 3. В треугольнике ABC ∠A = 38°, АС = ВС. Найдите угол С. 4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 12,6 см. Найдите длину гипотенузы.

Билет № 1

1. Вертикальные углы — это углы, у которых одна сторона одного угла является продолжением стороны другого угла, а другие стороны образуют развернутый угол.
   Свойство: Вертикальные углы равны.
2. Признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Решение:

   В треугольнике ABC \( \angle A = 38^{\circ} \), \( AC = BC \). Это означает, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AB.

   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle B \).

   Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Следовательно:

   \( \angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \).

   Ответ: \( \angle C = 104^{\circ} \).

4. Решение:

   Пусть в прямоугольном треугольнике ABC \( \angle C = 90^{\circ} \).

   Пусть \( \angle A = 30^{\circ} \), тогда \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

   Сторона, противолежащая углу \( 30^{\circ} \) (это катет BC), равна половине гипотенузы AB.

   Пусть \( BC = x \), тогда \( AB = 2x \).

   По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна \( 12,6 \) см. Меньший катет — это BC, так как он лежит напротив меньшего острого угла.

   \( AB + BC = 12,6 \)

   \( 2x + x = 12,6 \)

   \( 3x = 12,6 \)

   \( x = \frac{12,6}{3} = 4,2 \) см.

   Теперь найдем длину гипотенузы AB:

   \( AB = 2x = 2 \cdot 4,2 = 8,4 \) см.

   Ответ: Длина гипотенузы равна \( 8,4 \) см.