Билет №3. 1. Сформулируйте признаки параллелограмма. 2. Какой отрезок называется средней линией треугольника? Сформулируйте теорему о средней линии треугольника. 3. Одна из диагоналей ромба на 4 см больше другой, а площадь ромба равна 96 см². Найдите сторону ромба.

Билет №3

1. Признаки параллелограмма

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого:

1. Противоположные стороны попарно равны.
2. Противоположные углы попарно равны.
3. Диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
4. В четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны.

2. Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.

3. Сторона ромба

Дано:

• Ромб ABCD
• Площадь S = 96 см²
• Пусть диагональ \( d_1 = x \) см, тогда \( d_2 = x + 4 \) см.

Найти: Сторону ромба a.

Решение:

1. Площадь ромба можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} d_1 · d_2 \]
2. Подставим известные значения: \[ 96 = \frac{1}{2} x(x + 4) \]
3. Умножим обе части на 2: \[ 192 = x(x + 4) \] \[ 192 = x^2 + 4x \]
4. Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ x^2 + 4x - 192 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 · 1 · (-192) = 16 + 768 = 784 \).
6. \( √{D} = √{784} = 28 \).
7. \( x_1 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)
8. \( x_2 = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \).
9. Так как длина диагонали не может быть отрицательной, то \( x = 12 \) см.
10. Значит, диагонали равны: \( d_1 = 12 \) см, \( d_2 = 12 + 4 = 16 \) см.
11. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Катеты этого треугольника равны \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \).
12. Катеты равны: \( \frac{12}{2} = 6 \) см и \( \frac{16}{2} = 8 \) см.
13. По теореме Пифагора найдём сторону ромба (гипотенузу): \[ a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \]
14. Подставим значения: \[ a^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]
15. \( a = √{100} = 10 \) см.

Ответ: 10 см.