Билет №2. 1. Начертите четырёхугольник и покажите его диагонали, противоположные стороны и противоположные вершины? Чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника? 2. Взаимное расположение прямой и окружности. Проиллюстрируйте. 3. В прямоугольной трапеции один из углов равен 135 градусов, средняя линия равна 18 см, а основания относятся как 1:8. Найдите основания трапеции и её площадь

Билет №2

1. Четырёхугольник

Четырёхугольник — это геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек (вершин), соединённых четырьмя отрезками (сторонами).

Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные вершины (например, AC и BD).

Противоположные стороны — это стороны, не имеющие общей вершины (например, AB и CD, BC и AD).

Противоположные вершины — это вершины, не соединённые стороной (например, A и C, B и D).

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.

2. Взаимное расположение прямой и окружности

Прямая и окружность могут располагаться тремя способами:

1. Прямая пересекает окружность в двух точках.
2. Прямая касается окружности в одной точке (касательная).
3. Прямая не имеет общих точек с окружностью.

3. Прямоугольная трапеция

Дано:

• Прямоугольная трапеция ABCD (угол A = угол B = 90°)
• Угол C = 135°
• Средняя линия MN = 18 см
• Основания относятся как 1:8 (пусть BC = x, AD = 8x)

Найти: Основания BC, AD и площадь S.

Решение:

1. Угол D = 360° - 90° - 90° - 135° = 45°. (Это неверно, сумма углов при боковой стороне AD должна быть 180°).
2. В прямоугольной трапеции сумма углов при боковой стороне равна 180°. Значит, если угол C = 135°, то угол D = 180° - 135° = 45°.
3. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \[ MN = \frac{AD + BC}{2} \]
4. Подставим известные значения: \[ 18 = \frac{8x + x}{2} \]
5. Решим уравнение: \[ 18 = \frac{9x}{2} \] \[ 36 = 9x \] \[ x = 4 \] см.
6. Значит, основания: \( BC = x = 4 \) см, \( AD = 8x = 8 · 4 = 32 \) см.
7. Чтобы найти площадь, нужно знать высоту. В прямоугольной трапеции высота равна боковой стороне, перпендикулярной основаниям. У нас это сторона AB.
8. Из угла D = 45° и того, что AB перпендикулярна AD, можно найти высоту. Проведем из C высоту CE к AD. Тогда ABCE — прямоугольник, AB=CE. Четырехугольник CEDA — прямоугольная трапеция.
9. Если провести высоту из C к AD, пусть она будет CE. Тогда CE = AB. В прямоугольном треугольнике CDE, угол D = 45°, угол CED = 90°. Значит, угол DCE = 45°. Треугольник CDE — равнобедренный, CD = CE.
10. Высота трапеции равна разности оснований, если провести из вершины тупого угла на большее основание.
11. Из вершины C проведем высоту CE к основанию AD. Тогда CE = AB. Треугольник CDE будет прямоугольным с углом D = 45°, поэтому угол DCE = 45°. Треугольник CDE — равнобедренный, DE = CE.
12. AD = AE + ED. AE = BC = 4. ED = AD - AE = 32 - 4 = 28.
13. Значит, CE = ED = 28 см. Высота трапеции AB = 28 см.
14. Теперь найдем площадь: \[ S = \frac{AD + BC}{2} · AB \]
15. Подставим значения: \[ S = \frac{32 + 4}{2} · 28 = 18 · 28 = 504 \] см².

Ответ: основания 4 см и 32 см, площадь 504 см².