Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Билет № 12
1. Определения:
Окружность, вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Многоугольник в этом случае называется описанным.
Многоугольник, описанный около окружности — это многоугольник, все стороны которого касаются данной окружности. Окружность в этом случае называется вписанной.
Свойство описанного четырехугольника: Сумма длин противоположных сторон описанного четырёхугольника равна.
\( AB + CD = BC + AD \)
2. Свойства диагоналей ромба:
- Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
- Диагонали ромба делят его углы пополам.
- Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство (пересечение под прямым углом):
Ромб является параллелограммом, у которого все стороны равны. Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и одной диагональю. Этот треугольник является равнобедренным. Диагональ, являющаяся биссектрисой угла, также является высотой и медианой. Так как диагонали делят друг друга пополам, то в любом из четырёх треугольников, образованных диагоналями, все стороны равны (половины диагоналей и стороны ромба). Следовательно, эти треугольники равносторонние, а углы при пересечении диагоналей равны 90 градусов.
Задача 3.
Площадь параллелограмма ABCD равна 60. Точка Е - середина сторе В. Найдите площадь трапеции DAEC.
Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- \( S_{ABCD} = 60 \).
- E — середина стороны BC.
Найти: \( S_{DAEC} \)
Решение:
- Площадь параллелограмма \( S_{ABCD} = a \cdot h \), где \( a = CD \), \( h \) — высота, проведённая к стороне CD.
- Площадь треугольника ABC: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \).
- Точка E — середина BC. Площадь треугольника ABE равна половине площади треугольника ABC (так как у них общая высота из вершины A, а основания BE = EC): \( S_{ABE} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15 \).
- Площадь трапеции DAEC равна площади параллелограмма минус площадь треугольника ABE:
\( S_{DAEC} = S_{ABCD} - S_{ABE} = 60 - 15 = 45 \).
Альтернативное решение:
- Площадь треугольника ADC равна половине площади параллелограмма: \( S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = 30 \).
- Площадь треугольника CDE: Основания CD и AE параллельны. Высота трапеции DAEC равна высоте параллелограмма.
- Так как E — середина BC, то BE = EC. \( S_{ABE} = S_{AEC} = 15 \).
- \( S_{DAEC} = S_{ADC} + S_{AEC} = 30 + 15 = 45 \).
Ответ: Площадь трапеции DAEC равна 45.
Задача 4.
Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите ZKCB, если ZABC=20°.
Решение:
В условии задачи есть неточности: "треугоника АВС" и "Найди ZKCB". Предполагается, что нужно найти \( \angle KCB \) или \( \angle BCE \), а \( \angle ABC = 20^{\circ} \).
Данные о перпендикулярности отрезков АЕ и СК, а также тот факт, что окружность проходит через А и С, и пересекает стороны АВ и ВС в точках К и Е, являются ключевыми. Точки A, K, E, C лежат на окружности.
\( \angle ABC = 20^{\circ} \).
Из условия, что AE \( \perp \) CK, следует, что точки K, E, C, A лежат на одной окружности. Углы \( \angle KEC \) и \( \angle KAC \) опираются на одну дугу KC, следовательно, \( \angle KEC = \angle KAC \).
Углы \( \angle AKC \) и \( \angle AEC \) опираются на одну дугу AC, следовательно, \( \angle AKC = \angle AEC \).
Сумма углов в треугольнике ABC: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \).
\( \angle BAC + 20^{\circ} + \angle BCA = 180^{\circ} \).
\( \angle BAC + \angle BCA = 160^{\circ} \).
Без дополнительной информации или уточнения условий, решение задачи невозможно.
