Билет № 11. 1) Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. 2) Запишите формулу площади треугольника, следствия из нее, формулу Герона. Задача 3. К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая, если АВ=12 см, АО=13 см. Найдите радиус окружности. Задача 4. На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе о отрезки АВ, АС и AD. Величина угла BDC равна 160 градусов. Найдите величину угла ВАС.

Билет № 11

1. Теорема Пифагора:

Формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). AB — гипотенуза, AC и BC — катеты. Нужно доказать, что \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

1. Построим квадрат со стороной \( a+b \).
2. Внутри этого квадрата построим четыре прямоугольных треугольника с катетами \( a \) и \( b \).
3. Гипотенуза каждого треугольника равна \( c \).
4. Площадь большого квадрата равна \( (a+b)^2 \).
5. Площадь четырёх треугольников равна \( 4 \cdot \frac{1}{2} ab = 2ab \).
6. Площадь внутреннего квадрата (со стороной \( c \)) равна \( c^2 \).
7. Площадь большого квадрата также равна сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата: \( (a+b)^2 = 2ab + c^2 \).
8. Раскроем скобки: \( a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \).
9. Сократим \( 2ab \): \( a^2 + b^2 = c^2 \). Теорема доказана.

2. Площадь треугольника:

• Основная формула: \( S = \frac{1}{2} a \cdot h_a \), где \( a \) — сторона треугольника, \( h_a \) — высота, проведённая к этой стороне.
• Следствия:
• Через две стороны и угол между ними: \( S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \).
• Через радиус описанной окружности: \( S = \frac{abc}{4R} \).
• Через радиус вписанной окружности: \( S = pr \), где \( p \) — полупериметр, \( r \) — радиус вписанной окружности.
• Формула Герона (для нахождения площади по трём сторонам): \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), где \( p = \frac{a+b+c}{2} \) — полупериметр.

Задача 3.

К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая, если АВ=12 см, АО=13 см. Найдите радиус окружности.

Дано:

• Окружность с центром О.
• AB — касательная.
• AO — секущая (соединяет центр с точкой на касательной).
• AB = 12 см, AO = 13 см.

Найти: r (радиус)

Решение:

По свойству касательной, радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной. То есть, \( \angle OBA = 90^{\circ} \), где B — точка касания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. По теореме Пифагора:

\( OA^2 = OB^2 + AB^2 \)

\( 13^2 = r^2 + 12^2 \)

\( 169 = r^2 + 144 \)

\( r^2 = 169 - 144 \)

\( r^2 = 25 \)

\( r = 5 \) см.

Ответ: Радиус окружности равен 5 см.

Задача 4.

На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе о отрезки АВ, АС и AD. Величина угла BDC равна 160 градусов. Найдите величину угла ВАС.

Решение:

В условии задачи есть неясность: "о отрезки АВ, АС и AD". Предполагается, что точки B, D, C лежат на сторонах угла, а AD — биссектриса.

Если AD — биссектриса угла BAC, то \( \angle BAD = \angle CAD \).

В треугольнике BDC, \( \angle BDC = 160^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\( \angle DBC + \angle DCB + \angle BDC = 180^{\circ} \)

\( \angle DBC + \angle DCB + 160^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle DBC + \angle DCB = 20^{\circ} \)

Без дополнительной информации о расположении точек или соотношениях углов/сторон, найти \( \angle BAC \) невозможно. Формулировка задачи требует уточнения.