Билет №11 1. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку (определение и теорема). 2. Формула площади ромба, если известны диагонали (с рисунком и условием). 3. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20,5 см. Найдите BC, если AC=9.

Решение:

Билет №11

• 1. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку:
  • Определение: Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему.
  • Теорема: Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. И наоборот, любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
• 2. Формула площади ромба через диагонали:

  Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

  \[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]

  (Для рисунка требуется графический редактор. Изображается ромб с диагоналями d1 и d2, которые пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Ромб разбивается на 4 равных прямоугольных треугольника).

• 3. Найдите BC:
  • Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на стороне AB. Это означает, что AB является диаметром описанной окружности.
  • Диаметр AB = 2 * радиус = 2 * 20,5 см = 41 см.
  • Так как AB — диаметр, то угол ACB, опирающийся на диаметр, является прямым (90°).
  • Таким образом, треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом C.
  • По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC: AC² + BC² = AB²
  • Дано: AC = 9 см, AB = 41 см.
  • 9² + BC² = 41²
  • 81 + BC² = 1681
  • BC² = 1681 - 81 = 1600
  • BC = √1600 = 40 см.

  Ответ: BC = 40 см

• 4. Найдите площадь параллелограмма:
  • Высота BK, проведенная к стороне AD, равна 7 см.
  • KD = 15 см.
  • Так как ABCD — параллелограмм, то AD = BC и AB = CD.
  • В прямоугольном треугольнике BKD: BD² = BK² + KD² = 7² + 15² = 49 + 225 = 274.
  • BD = √274 см.
  • Угол A = 45°.
  • В прямоугольном треугольнике ABK: AK = √(AB² - BK²).
  • Нам нужно найти AD. AD = AK + KD, но KD относится к стороне AD. Правильнее будет использовать высоту, проведенную к стороне AD.
  • Если BK — высота, то площадь параллелограмма S = AD * BK.
  • Нам нужно найти AD.
  • Из условия AK = 7 см, KD = 15 см. Если BK — высота, то K лежит на AD.
  • Если BK = 7 см, и угол A = 45°, то в прямоугольном треугольнике ABK, AK = BK / tan(45°) = 7 / 1 = 7 см.
  • Значит, AD = AK + KD = 7 см + 15 см = 22 см.
  • Площадь параллелограмма S = AD * BK = 22 см * 7 см = 154 см².

  Ответ: 154 см²