Билет № 10, 2) Запишите формулы площадей параллелограмма, ромба, трапеции. Запишите вывод одной из формул (по выбору).

Формулы площадей:

• Параллелограмм: S = a \(\times\) h, где a — сторона, h — высота, проведенная к этой стороне.
• Ромб: S = a \(\times\) h, или S = \(\frac{1}{2}\) d_1 \(\times\) d_2, где a — сторона, h — высота, d_1 и d_2 — диагонали.
• Трапеция: S = \(\frac{a+b}{2}\) \(\times\) h, где a и b — основания, h — высота.

Вывод формулы площади параллелограмма:

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведем высоту BH к стороне AD. Треугольник ABH — прямоугольный.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту: S = AD \(\times\) BH.

Можно представить параллелограмм как сумму прямоугольного треугольника ABH и трапеции HBC'B' (где C' и B' — проекции C и B на продолжение AD).

Если провести диагональ AC, то параллелограмм разобьется на два равных треугольника ABC и CDA. Площадь каждого из них равна \(\frac{1}{2}\) \(\times\) \(\text{основание}\) \(\times\) \(\text{высота}\).

S_{\(\triangle\) ABC} = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) BC \(\times\) h, где h — высота, проведенная к стороне BC.

Так как BC = AD (противоположные стороны параллелограмма), то S_{\(\triangle\) ABC} = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) AD \(\times\) h.

Площадь параллелограмма равна удвоенной площади одного из треугольников: S = 2 \(\times\) S_{\(\triangle\) ABC} = 2 \(\times\) \(\frac{1}{2}\) \(\times\) AD \(\times\) h = AD \(\times\) h.