7. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Разбираемся:

В данной задаче нам нужно найти вероятность того, что из 5 выстрелов биатлонист попадет ровно 3 раза подряд, а последние 2 промахнется. Это можно рассчитать, используя формулу Бернулли.

Шаг 1: Определим параметры.

• n = 5 (количество выстрелов)
• k = 3 (количество попаданий подряд)
• p = 0.8 (вероятность попадания)
• q = 1 - p = 0.2 (вероятность промаха)

Шаг 2: Используем формулу Бернулли.

Формула Бернулли выглядит так: \[P = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\] Где C(n, k) - это количество сочетаний из n по k, которое можно вычислить как: \[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Шаг 3: Рассчитаем количество сочетаний C(5, 3). \[C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\]

Шаг 4: Подставим значения в формулу Бернулли. \[P = 10 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^2\] \[P = 10 \cdot 0.512 \cdot 0.04\] \[P = 10 \cdot 0.02048\] \[P = 0.2048\]

Шаг 5: Поскольку нам нужно найти вероятность того, что первые три раза биатлонист попал, а последние два промахнулся, нужно рассмотреть только один исход, а не все возможные сочетания. Поэтому мы не используем сочетания и рассчитываем вероятность только для одного конкретного случая:

\[P = (0.8)^3 \cdot (0.2)^2\] \[P = 0.512 \cdot 0.04\] \[P = 0.02048\]

Шаг 6: Округлим результат до сотых. \[P \approx 0.02\]