3. Баржа прошла по течению реки 84 км и, повернув обратно, прошла ещё 66 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решим задачу.

Пусть x - собственная скорость баржи.

Скорость по течению реки: x+5 км/ч

Скорость против течения реки: x-5 км/ч

Время, затраченное на путь по течению: \(\frac{84}{x+5}\) ч

Время, затраченное на путь против течения: \(\frac{66}{x-5}\) ч

Общее время в пути 10 часов. Составим уравнение:

$$\frac{84}{x+5} + \frac{66}{x-5} = 10$$

Решим уравнение:

Умножим обе части уравнения на (x+5)(x-5) чтобы избавиться от знаменателей:

$$84(x-5) + 66(x+5) = 10(x^2 - 25)$$ $$84x - 420 + 66x + 330 = 10x^2 - 250$$ $$150x - 90 = 10x^2 - 250$$ $$10x^2 - 150x - 250 + 90 = 0$$ $$10x^2 - 150x - 160 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 10:

$$x^2 - 15x - 16 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289$$ $$x_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ $$x_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение: x = 16

Значит, собственная скорость баржи 16 км/ч

Ответ: 16