Решите задачу: Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Пусть $$x$$ – количество деталей, которое второй рабочий делает в час. Тогда первый рабочий делает $$x + 5$$ деталей в час. Время, за которое второй рабочий выполняет заказ, равно $$\frac{180}{x}$$ часов. Время, за которое первый рабочий выполняет заказ, равно $$\frac{180}{x + 5}$$ часов. Из условия задачи известно, что первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее, чем второй рабочий. Следовательно, имеем уравнение: $$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 5} = 3$$ Умножим обе части уравнения на $$x(x + 5)$$, чтобы избавиться от дробей: $$180(x + 5) - 180x = 3x(x + 5)$$ Раскроем скобки: $$180x + 900 - 180x = 3x^2 + 15x$$ Упростим уравнение: $$3x^2 + 15x - 900 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 3: $$x^2 + 5x - 300 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или дискриминанта. Используем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-300) = 25 + 1200 = 1225$$ Тогда $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1225}}{2} = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20$$ Так как количество деталей не может быть отрицательным, то $$x = 15$$. Таким образом, второй рабочий делает 15 деталей в час. **Ответ:** Второй рабочий делает 15 деталей в час.