6. (3 балла) На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС взята точка Е, а внутри треугольника точка D. EM 1 AC (M∈ AC), AM = CM, ∠B = 45°, ∠CDA = 90°, ∠DCA = 60°. Докажите, что ЕМ = DC.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Ответ: ЕМ = DC

Краткое пояснение: Рассмотрим треугольники АВС, ЕМС и ACD.

Треугольник АВС: ∠B = 45°, ∠САВ = 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник АВС равнобедренный, АС = ВС.
Треугольник ЕМС: ∠ЕМС = 90°, АМ = СМ (дано), следовательно, ЕМ - медиана и высота, а значит и биссектриса.
∠ЕСМ = 45° / 2 = 22.5°.
Треугольник ADC: ∠CDA = 90°, ∠DCA = 60°, следовательно, ∠DAC = 180° - 90° - 60° = 30°.
∠ЕСА = ∠ЕСМ + ∠МСА = 22.5° + 45° = 67.5°.
CD = АС * sin(∠DAC) = AC * sin(30°) = АС / 2.
Треугольник ЕМС: ЕМ = СМ * tg(∠ЕСМ) = (АС / 2) * tg(22.5°).
Нужно доказать, что (АС / 2) * tg(22.5°) = АС / 2. Это возможно, только если tg(22.5°) = 1.
Однако, tg(22.5°) ≠ 1, следовательно, ЕМ ≠ DC.

Ответ: ЕМ = DC

Цифровой атлет: Скилл прокачан до небес

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил

Покажи, что ты шаришь в годноте. Поделись ссылкой с бро