7. (2 балла) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длину общего перпендикуляра, если проекции наклонных относятся как 2:3 и длины наклонных равны 23 см и 33 см.

Пусть даны две наклонные АВ и АС к плоскости α, точка А находится вне плоскости α. Проекции этих наклонных на плоскость α - ВD и СD соответственно.

АВ = 23 см

АС = 33 см

ВD : СD = 2 : 3

АD - ?

Пусть ВD = 2x, тогда СD = 3x. Рассмотрим прямоугольные треугольники АВD и АСD. В них АD - общий катет.

По теореме Пифагора:

АВ² = АD² + ВD²

АС² = АD² + СD²

Выразим АD² из каждого уравнения:

АD² = АВ² - ВD²

АD² = АС² - СD²

Приравняем правые части:

АВ² - ВD² = АС² - СD²

23² - (2x)² = 33² - (3x)²

529 - 4x² = 1089 - 9x²

5x² = 560

x² = 112

x = √112 = 4√7

Тогда ВD = 2 * 4√7 = 8√7

АD² = АВ² - ВD² = 23² - (8√7)² = 529 - 64 * 7 = 529 - 448 = 81

АD = √81 = 9 см

Ответ: 9 см