B1. Даны четыре точки A(0; 0), B(1; 1), C(0; 2), D(-1; 1). Докажите, что четырехугольник ABCD – квадрат.

Доказательство:

Чтобы доказать, что ABCD — квадрат, нужно показать, что все его стороны равны и диагонали равны.

1. Вычислим длины сторон:
   AB = \( \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
   BC = \( \sqrt{(0-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \)
   CD = \( \sqrt{(-1-0)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \)
   DA = \( \sqrt{(0-(-1))^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \>

   Все стороны равны \( \sqrt{2} \). Четырехугольник — ромб.

2. Вычислим длины диагоналей:
   AC = \( \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2 \)
   BD = \( \sqrt{(-1-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \>

   Диагонали равны 2. Так как диагонали равны, ромб является квадратом.

Вывод: Все стороны четырехугольника ABCD равны (\( \sqrt{2} \)), а диагонали равны (2). Следовательно, ABCD — квадрат.