B3. В треугольнике АВС стороны ВС и АС равны, угол С равен 112°. Биссектрисы углов А и В пересекаются в точке М. Найдите величину угла АМВ.

Так как стороны BC и AC равны, то треугольник ABC равнобедренный с основанием AB. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Угол C равен 112°, тогда сумма углов A и B равна: ( 180° - 112° = 68° ).

Так как треугольник равнобедренный, углы A и B равны: ( ∠A = ∠B = \frac{68°}{2} = 34° ).

AM и BM - биссектрисы углов A и B, следовательно, углы ( ∠MAB ) и ( ∠MBA ) равны половине соответствующих углов A и B:

( ∠MAB = \frac{∠A}{2} = \frac{34°}{2} = 17° )
( ∠MBA = \frac{∠B}{2} = \frac{34°}{2} = 17° )

В треугольнике ABM сумма углов равна 180°, следовательно:

( ∠AMB = 180° - ∠MAB - ∠MBA = 180° - 17° - 17° = 180° - 34° = 146° )

Ответ: ∠AMB = 146°