б) Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 15 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Окружность касается сторон AB, BC, AC в точках K, M, N соответственно. По условию, точка касания делит боковую сторону на отрезки 15 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию. Это означает, что AK = AN = 15, и KB = NC = 4.

Следовательно, длина боковой стороны AB = AC = AK + KB = 15 + 4 = 19.

Из свойства касательных: AK = AN = 15, KB = BM = 4, NC = MC = 4. Следовательно, длина основания BC = BM + MC = 4 + 4 = 8.

Периметр треугольника P = AB + AC + BC = 19 + 19 + 8 = 46.

Ответ: 46