б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

Решение:

Сумма цифр числа 599 равна \( 5 + 9 + 9 = 23 \).

Пусть два различных натуральных числа \( a \) и \( b \) имеют одинаковую сумму цифр \( S \). Тогда \( a+b=599 \).

Известно, что любое натуральное число дает остаток при делении на 9, равный сумме его цифр. То есть, \( a \equiv S \text{ (mod } 9) \) и \( b \equiv S \text{ (mod } 9) \).

Следовательно, \( a+b \equiv S+S \text{ (mod } 9) \), то есть \( 599 \equiv 2S \text{ (mod } 9) \).

Сумма цифр числа 599 равна 23. \( 23 = 2 \times 9 + 5 \), поэтому \( 599 \equiv 23 \equiv 5 \text{ (mod } 9) \).

Получаем \( 5 \equiv 2S \text{ (mod } 9) \).

Чтобы найти \( S \), нужно решить это сравнение. Умножим обе части на 5 (обратный элемент к 2 по модулю 9, так как \( 2 \times 5 = 10 \equiv 1 \text{ (mod } 9) \)):

\( 5 \times 5 \equiv 5 \times 2S \text{ (mod } 9) \)

\( 25 \equiv 10S \text{ (mod } 9) \)

\( 7 \equiv S \text{ (mod } 9) \).

Значит, сумма цифр \( S \) должна давать остаток 7 при делении на 9. Возможные значения \( S \): 7, 16, 25, 34 и т.д.

Теперь рассмотрим число 599. Сумма его цифр равна 23, то есть \( 599 \equiv 5 \text{ (mod } 9) \).

Если \( a \equiv S \text{ (mod } 9) \) и \( b \equiv S \text{ (mod } 9) \), то \( a+b \equiv 2S \text{ (mod } 9) \). Мы получили \( 599 \equiv 5 \text{ (mod } 9) \) и \( 2S \equiv 2 \times 7 \equiv 14 \equiv 5 \text{ (mod } 9) \). Это условие выполняется.

Нам нужно найти два *различных* натуральных числа \( a \) и \( b \) с одинаковой суммой цифр \( S \), где \( S \equiv 7 \text{ (mod } 9) \), так, чтобы \( a+b=599 \).

Попробуем \( S=16 \).

Можно ли найти два различных числа, сумма которых равна 599, и сумма цифр каждого из них равна 16?

Например, возьмем число \( a = 79 \). Сумма цифр \( 7+9=16 \).

Тогда \( b = 599 - 79 = 520 \). Сумма цифр \( 5+2+0=7 \). Это не равно 16.

Возьмем число \( a = 88 \). Сумма цифр \( 8+8=16 \).

Тогда \( b = 599 - 88 = 511 \). Сумма цифр \( 5+1+1=7 \). Опять не совпадает.

Возьмем число \( a = 97 \). Сумма цифр \( 9+7=16 \).

Тогда \( b = 599 - 97 = 502 \). Сумма цифр \( 5+0+2=7 \).

Заметим, что если \( a \) и \( b \) — два числа, такие что \( a+b = N \), и \( a \rightarrow \text{сумма цифр } S_a \), \( b \rightarrow \text{сумма цифр } S_b \), то \( N \rightarrow \text{сумма цифр } S_N \).

Свойство: \( S_a + S_b \neq S_{a+b} \).

Однако, \( S_a \text{ (mod } 9) = a \text{ (mod } 9) \) и \( S_b \text{ (mod } 9) = b \text{ (mod } 9) \).

Тогда \( (S_a + S_b) \text{ (mod } 9) = (a+b) \text{ (mod } 9) = S_{a+b} \text{ (mod } 9) \).

В нашем случае \( S_a = S_b = S \). Значит, \( (2S) \text{ (mod } 9) = S_{a+b} \text{ (mod } 9) \).

Для числа 599, \( S_{599} = 23 \equiv 5 \text{ (mod } 9) \).

Мы получили, что \( 2S \text{ (mod } 9) = 5 \), и \( S \text{ (mod } 9) = 7 \). Это условие выполнено.

Рассмотрим задачу: найти \( a, b \) таких, что \( a \neq b \), \( a+b=599 \) и \( S_a = S_b = S \), где \( S \text{ (mod } 9) = 7 \).

Пусть \( S=7 \). Примеры чисел с суммой цифр 7: 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70.

Если \( a=7 \), то \( b = 599-7 = 592 \). Сумма цифр \( 5+9+2=16 \). Не равно 7.

Если \( a=16 \), то \( b = 599-16 = 583 \). Сумма цифр \( 5+8+3=16 \). Это возможно! \( a=16, b=583 \). Сумма цифр каждого равна 16. Числа различны. \( 16+583=599 \).

Ответ: Да, можно.