а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

Решение:

Сумма цифр числа 2043 равна \( 2 + 0 + 4 + 3 = 9 \).

Пусть два различных натуральных числа \( a \) и \( b \) имеют одинаковую сумму цифр \( S \). Тогда \( a+b=2043 \).

Известно, что любое натуральное число дает остаток при делении на 9, равный сумме его цифр. То есть, \( a \equiv S \text{ (mod } 9) \) и \( b \equiv S \text{ (mod } 9) \).

Следовательно, \( a+b \equiv S+S \text{ (mod } 9) \), то есть \( 2043 \equiv 2S \text{ (mod } 9) \).

Сумма цифр числа 2043 равна 9, значит \( 2043 \equiv 9 \equiv 0 \text{ (mod } 9) \).

Получаем \( 0 \equiv 2S \text{ (mod } 9) \). Это означает, что \( 2S \) должно быть кратно 9. Так как 2 и 9 взаимно просты, то \( S \) должно быть кратно 9. Значит, \( S \) может быть 9, 18, 27 и т.д.

Теперь рассмотрим число 2043. Сумма его цифр равна 9. Если бы мы представили 2043 как сумму двух чисел с одинаковой суммой цифр \( S \), то \( S \) было бы кратно 9.

Приведем пример. Если \( S = 9 \), то мы ищем такие \( a \) и \( b \), что \( a+b=2043 \) и сумма цифр \( a \) и \( b \) равна 9. Например, \( a = 18 \) (сумма цифр 9) и \( b = 2025 \) (сумма цифр 9). \( 18 + 2025 = 2043 \). Числа 18 и 2025 различны.

Ответ: Да, можно.