B 2.47 а) Из цифр 6, 7, 8, 9 и 2 составьте четырёхзначные числа, в записи которых цифры не повторяются. Сколько чисел получили? б) Сколько чисел можно получить, если надо составить пятизначные числа из шести цифр 1, 3, 5, 7, 8, 9?

Решение:

a) Чтобы составить четырехзначное число из 5 цифр без повторений, нужно выбрать 4 цифры из 5 и расставить их в определенном порядке. Количество способов выбрать 4 цифры из 5 равно числу размещений из 5 элементов по 4 местам, что вычисляется по формуле:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

В нашем случае, n = 5 (количество цифр) и k = 4 (длина числа):

$$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$$

Таким образом, можно составить 120 четырёхзначных чисел.

б) Чтобы составить пятизначное число из 6 цифр без повторений, нужно выбрать 5 цифр из 6 и расставить их в определенном порядке. Количество способов выбрать 5 цифр из 6 равно числу размещений из 6 элементов по 5 местам, что вычисляется по формуле:

$$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

В нашем случае, n = 6 (количество цифр) и k = 5 (длина числа):

$$A_6^5 = \frac{6!}{(6-5)!} = \frac{6!}{1!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720$$

Таким образом, можно составить 720 пятизначных чисел.