8. ASB — развертка конуса, hконуса = 4√2, ∠ASB = 120°. Найдите Sполн.

Ответ: S_полн = 16π

1. Шаг 1: Найдем радиус основания конуса R.

   Длина дуги равна \(\frac{1}{3}\) длины окружности с радиусом L, где L - образующая конуса.

   Длина дуги равна длине окружности основания конуса, т.е. 2\(\pi R\).

   Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей конуса, получим:

   \[L^2 = R^2 + h^2\]

   Из развертки конуса следует, что \(L = 3R\). Подставим это в уравнение:

   \[(3R)^2 = R^2 + (4\sqrt{2})^2\]

   \[9R^2 = R^2 + 32\]

   \[8R^2 = 32\]

   \[R^2 = 4\]

   \[R = 2\]

2. Шаг 2: Найдем площадь основания конуса S_осн.

   \[S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi\]

3. Шаг 3: Найдем образующую конуса L.

   \[L = 3R = 3 \cdot 2 = 6\]

4. Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности конуса S_бок.

   \[S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 2 \cdot 6 = 12\pi\]

5. Шаг 5: Найдем полную площадь конуса S_полн.

   \[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 4\pi + 12\pi = 16\pi\]

Ответ: S_полн = 16π