89. Agar $$sin \alpha = -\frac{12}{13}$$ va $$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$ bo'lsa, $$tg(\alpha + \frac{\pi}{4})$$ ning qiymatini toping.

Сначала найдем $$\cos \alpha$$. Так как $$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$, угол $$\alpha$$ находится в третьей четверти, где и синус, и косинус отрицательны. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$$ $$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13}$$ Теперь найдем $$\tan \alpha$$: $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$$ Используем формулу для тангенса суммы углов: $$\tan(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan \alpha + \tan \frac{\pi}{4}}{1 - \tan \alpha \tan \frac{\pi}{4}}$$ Так как $$\tan \frac{\pi}{4} = 1$$, то: $$\tan(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{\frac{12}{5} + 1}{1 - \frac{12}{5} cdot 1} = \frac{\frac{12}{5} + \frac{5}{5}}{1 - \frac{12}{5}} = \frac{\frac{17}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{12}{5}} = \frac{\frac{17}{5}}{-\frac{7}{5}} = -\frac{17}{7}$$ Ответ: $$-\frac{17}{7}$$