AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как AC и BD — диаметры окружности, они проходят через центр O. Треугольник ACB является прямоугольным, так как угол ACB опирается на диаметр AC. Следовательно, \( \angle ABC = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ACB, \( \angle CAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ} \).

Углы AOD и BOC являются вертикальными, поэтому \( \angle AOD = \angle BOC \). Углы AOC и BOD являются развернутыми углами (180°).

В треугольнике BOC, OB = OC (радиусы окружности), поэтому он равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB = 54^{\circ} \). Тогда \( \angle BOC = 180^{\circ} - (54^{\circ} + 54^{\circ}) = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).

Так как \( \angle AOD = \angle BOC \), то \( \angle AOD = 72^{\circ} \).

Ответ: 72